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<!DOCTYPE html>

<title>Poisson-Prozess</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Poisson-Prozess</h1>

</header>

</div>

Ein Poisson-Punktprozess (oder kurz Poisson-Prozess) ist ein nach <a href="Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a> benannter <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischer Prozess</a>. Er ist ein <a href="Erneuerungsprozess" title="Erneuerungsprozess">Erneuerungsprozess</a>, dessen Zuwächse <a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson-verteilt</a> sind.

Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit oft im Versicherungswesen zum Beispiel <a href="St%C3%B6rfall" title="Störfall">Störfälle</a> an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze usw. modelliert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parameter">Parameter</h2></div>

Die Verteilung der Zuwächse hat einen Parameter λ, dieser wird als Intensität des Prozesses bezeichnet, da pro Zeitspanne genau λ Sprünge <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">erwartet</a> werden (Erwartungswert der Poisson-Verteilung ist ebenfalls λ). Die Höhe jedes Sprunges ist eins, die Zeiten zwischen den Sprüngen sind <a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">exponentialverteilt</a>. Der Poisson-Prozess ist also ein <a href="Diskret" title="Diskret">diskreter</a> Prozess in <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetiger</a> (d. h. kontinuierlicher) <a href="Zeit" title="Zeit">Zeit</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Ein Poisson-Punktprozess <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> ist ein <a href="Zuf%C3%A4lliges_Ma%C3%9F" title="Zufälliges Maß">zufälliges Maß</a>, genauer gesagt ein <a href="Punktprozess" title="Punktprozess">Punktprozess</a>, mit einem <a href="S-endliches_Ma%C3%9F" class="mw-redirect" title="S-endliches Maß">s-endlichen</a> Intensitätsmaß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> auf einem beliebigen Maßraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {X} ,{\mathcal {X}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {X} ,{\mathcal {X}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93d061202d164864f9c3ea416a56873ca016f052.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.738ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {X} ,{\mathcal {X}})}" loading="lazy">, der folgende Bedingungen erfüllt:

<ol><li>Für jede messbare Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta (B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta (B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29f4caf4f9bb05e367a2e27ba3046f6da2c1ecb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.743ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta (B)}" loading="lazy"> <a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson-verteilt</a> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (B)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (B)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df6b646fa0ee9a1b5cb529043d9d0485e24885a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (B)}" loading="lazy">. Das heißt, es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} (\eta (B)=k)=P_{\lambda (B)}(k)}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} (\eta (B)=k)=P_{\lambda (B)}(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e887ba6fdb6c5047d345e85ffdc94da13a3ac3e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:23.61ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} (\eta (B)=k)=P_{\lambda (B)}(k)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy">.</li>

<li>Für jede beliebige Anzahl an paarweise disjunkten Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {X}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/236b1fdcb7da7346a5dc0174f752672c2b00e661.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.695ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}\in {\mathcal {X}}}" loading="lazy"> sind die Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta (B_{1}),\dotsc ,\eta (B_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta (B_{1}),\dotsc ,\eta (B_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35acf41330a59e6f68b0cb91cbd4c81ca3721f31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta (B_{1}),\dotsc ,\eta (B_{n})}" loading="lazy"> unabhängig.<a href="#cite_note-Poisson_Point_Process-1">[1]</a></li></ol>

Für einen Poisson-Punktprozess wird auch die Kurzschreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f59dfaa8a2d73997d04534f94d3f073c9f4503e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda )}" loading="lazy"> verwendet. Handelt es sich um einen homogenen (auch: stationären) Poisson-Punktprozess, so schreibt man auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda \mathrm {d} x)}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda \mathrm {d} x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75fb35b4abcb05f4b7106c36a0ddb10f68de983b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.803ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \eta \sim {\text{PPP}}(\lambda \mathrm {d} x)}" loading="lazy">, wobei damit das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">-fache <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> gemeint ist. Für das <a href="Intensit%C3%A4tsma%C3%9F" title="Intensitätsmaß">Intensitätsmaß</a> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (B)=\operatorname {E} (\eta (B))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (B)=\operatorname {E} (\eta (B))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d11709609eeb95b48964215f84ee0cdcff125586.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (B)=\operatorname {E} (\eta (B))}" loading="lazy">.

Poisson-Punktprozesse können auf beliebigen Räumen betrachtet werden. Häufig interessiert man sich für den Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a713426956296f1668fce772df3c60b9dde8a685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.77ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}" loading="lazy"> oder für die positive reelle Achse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c1f2c2437bae14145e43c54cb7e1ee2701b2106.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy">. Insbesondere wenn man von einem Poisson-Punktprozess auf der reellen Achse spricht, nennt man die zweite Eigenschaft auch unabhängige Inkremente.

Die Terminologie ist leider nicht einheitlich. Manche Autoren sprechen vom Poisson-Prozess und meinen damit den Poisson-Punktprozess, andere wiederum meinen mit Poisson-Prozess den Poisson-<a href="Z%C3%A4hlprozess" title="Zählprozess">Zählprozess</a>, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(t)_{t\geq 0}:=\eta ([0,t])_{t\geq 0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(t)_{t\geq 0}:=\eta ([0,t])_{t\geq 0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78809d8ed70b6723bb40492a69c9124a2b4a1264.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.619ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(t)_{t\geq 0}:=\eta ([0,t])_{t\geq 0}}" loading="lazy">. Letzteres zählt die Anzahl der Punkte des Poisson-Punktprozesses bis zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_auf_ℝ+">Definition auf ℝ+</h3></div>

Ein <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischer Prozess</a> mit <a href="C%C3%A0dl%C3%A0g" class="mw-redirect" title="Càdlàg">càdlàg</a>-Pfaden über einem <a href="Wahrscheinlichkeitsraum" title="Wahrscheinlichkeitsraum">Wahrscheinlichkeitsraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1d4fb7211b4ae5b675de073280f781f76bc4a5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}" loading="lazy"> heißt (homogener) Poisson-Prozess <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\lambda ,t}\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda ,t}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87a8fb14e28896ea26afca9f7133d31165bb8ec2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.121ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda ,t}\,}" loading="lazy"> mit Intensität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda >0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in [0,\infty )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in [0,\infty )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/505b13e7abab4425756bd9fd4367d8f9be2ac1fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in [0,\infty )}" loading="lazy">, falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda ,0}=0\quad (\mathbb {P} {\text{-f. s.}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b23425aca7b5dafc4ae4cc4eb89fd85dad4000c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.052ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda ,0}=0\quad (\mathbb {P} {\text{-f. s.}})}" loading="lazy"> (siehe <a href="Fast_sichere_Eigenschaften" class="mw-redirect" title="Fast sichere Eigenschaften">Fast sichere Eigenschaften</a>).</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall s<t)\,\,P_{\lambda ,t}-P_{\lambda ,s}\sim {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e8bd57b205afe9174b9d33cbea91e081bafba9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:29.677ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\forall s<t)\,\,P_{\lambda ,t}-P_{\lambda ,s}\sim {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}}" loading="lazy">. Dabei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6415af86372f30ff000a131c44761cdaa17dab63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.188ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda \cdot (t-s)}}" loading="lazy"> die <a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson-Verteilung</a> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \cdot (t-s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \cdot (t-s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738d55f5ec89df770079b34ad8323f56bd44cdce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.614ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda \cdot (t-s)}" loading="lazy">.</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<t_{1}<\dotsb <t_{n}\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<t_{1}<\dotsb <t_{n}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44114e44d5180a008e0e89ab71431c3b0fb09fd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0<t_{1}<\dotsb <t_{n}\,}" loading="lazy"> gegeben. Dann ist die Familie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P_{\lambda ,t_{i}}-P_{\lambda ,t_{i-1}})_{2\leq i\leq n}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P_{\lambda ,t_{i}}-P_{\lambda ,t_{i-1}})_{2\leq i\leq n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a5f7c8e20d0aa90cfe50b6c928764d1e0d925fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.238ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (P_{\lambda ,t_{i}}-P_{\lambda ,t_{i-1}})_{2\leq i\leq n}}" loading="lazy"> von <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> stochastisch unabhängig.</li></ul>

Für die Definition des inhomogenen Poisson-Prozesses siehe <a class="mw-selflink-fragment" href="#Inhomogener_Poisson-Prozess">Poisson-Prozess#Inhomogener Poisson-Prozess</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Ein Poisson-Prozess ist gemäß Definition ein stochastischer <a href="Prozess_mit_unabh%C3%A4ngigen_Zuw%C3%A4chsen" title="Prozess mit unabhängigen Zuwächsen">Prozess mit unabhängigen Zuwächsen</a>.</li>

<li>Ein homogener Poisson-Prozess ist ein <a href="Markow-Kette#Stetige_Zeit_und_diskreter_Zustandsraum" title="Markow-Kette">Markow-Prozess</a> in stetiger Zeit mit diskretem Zustandsraum. Die <a href="Q-Matrix" class="mw-redirect" title="Q-Matrix">Q-Matrix</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{ij}=\lambda \mathbf {1} _{\{j=i+1\}}-\lambda \mathbf {1} _{\{j=i\}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{ij}=\lambda \mathbf {1} _{\{j=i+1\}}-\lambda \mathbf {1} _{\{j=i\}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16d3f9aa932211d32b526f8eafc50f53e0c20c25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:24.737ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q_{ij}=\lambda \mathbf {1} _{\{j=i+1\}}-\lambda \mathbf {1} _{\{j=i\}}}" loading="lazy">.</li>

<li>Der Zeitraum zwischen zwei Zuwächsen, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min\{t\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,t}=n+1\}-\min\{s\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,s}=n\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min\{t\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,t}=n+1\}-\min\{s\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,s}=n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f63d55f6c6802ad7b3e7ab5c50e5d4f56176d019.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:56.923ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \min\{t\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,t}=n+1\}-\min\{s\in [0,\infty )\vert P_{\lambda ,s}=n\}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce8a1b7b3bc3c790054d93629fc3b08cd1da1fd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 0}" loading="lazy">, ist <a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">exponentialverteilt</a> mit dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">. Die Wartezeit auf den nächsten Sprung ist also <a href="Ged%C3%A4chtnislosigkeit" title="Gedächtnislosigkeit">gedächtnislos</a>, d. h., die Restwartezeit auf den nächsten Sprung ist unabhängig von der bisherigen Wartezeit. Daraus folgt, dass auch hier das <a href="Wartezeitparadoxon" title="Wartezeitparadoxon">Wartezeitparadoxon</a> gilt.</li>

<li>Demnach ist die Wartezeit bis zum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Sprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d9241493be76739f2400f258f32c24f9689161f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.576ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{n}}" loading="lazy"> <a href="Gammaverteilung" title="Gammaverteilung">gammaverteilt</a> mit Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">. Man sieht das deutlich, wenn man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d9241493be76739f2400f258f32c24f9689161f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.576ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{n}}" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{n}=T_{1}+(T_{2}-T_{1})+\cdots +(T_{n}-T_{n-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}=T_{1}+(T_{2}-T_{1})+\cdots +(T_{n}-T_{n-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c67061345939e56c9ba378fc3af4236aa41bb567.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.706ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{n}=T_{1}+(T_{2}-T_{1})+\cdots +(T_{n}-T_{n-1})}" loading="lazy"> schreibt.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda ,t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1deb3e54f0700e4d7acf962552c5e4586e9932d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda ,t}}" loading="lazy"> ein Poisson-Prozess und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33eb0ad28ebb73afb1521fca14885b6301012792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.351ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s\geq 0}" loading="lazy">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {P}}_{\lambda ,t}=P_{\lambda ,s+t}-P_{\lambda ,s}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {P}}_{\lambda ,t}=P_{\lambda ,s+t}-P_{\lambda ,s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fcf4c32f7f23485bb1492a152475dba3706f603.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.687ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {P}}_{\lambda ,t}=P_{\lambda ,s+t}-P_{\lambda ,s}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\geq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/248525429e9cd266f53ab8c52d17bc206c546060.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.101ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t\geq 0}" loading="lazy"> wieder ein Poisson-Prozess, d. h., die Zuwächse homogener Poisson-Prozesse sind stationär. Ein homogener Poisson-Prozess ist also ein spezieller <a href="L%C3%A9vy-Prozess" class="mw-redirect" title="Lévy-Prozess">Lévy-Prozess</a>.</li>

<li>Für den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> und die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (P_{\lambda ,t})=\operatorname {Var} (P_{\lambda ,t})=\lambda \cdot t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (P_{\lambda ,t})=\operatorname {Var} (P_{\lambda ,t})=\lambda \cdot t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b340b5e6d933dc3f20f3b7682c3ccb43437bc2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.557ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (P_{\lambda ,t})=\operatorname {Var} (P_{\lambda ,t})=\lambda \cdot t}" loading="lazy">.</li>

<li>Für die <a href="Variation_(Mathematik)#Quadratische_Variation" title="Variation (Mathematik)">quadratische Variation</a> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [P_{\lambda }]_{t}=P_{\lambda ,t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [P_{\lambda }]_{t}=P_{\lambda ,t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abfff90b6e62e1863c74e8b0b8330ac50ca7ada2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.635ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [P_{\lambda }]_{t}=P_{\lambda ,t}}" loading="lazy">, da der stetige Martingalanteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\lambda }^{\text{c}}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda }^{\text{c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ba75218f14d499ff792ca710e1e2ca6774b4ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda }^{\text{c}}}" loading="lazy"> verschwindet und alle Sprünge die Höhe 1 haben.</li>

<li>Da der Pfad des Prozesses monoton steigt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\lambda ,t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda ,t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1deb3e54f0700e4d7acf962552c5e4586e9932d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda ,t}}" loading="lazy"> ein <a href="Martingal" title="Martingal">Submartingal</a> bezüglich seiner natürlichen <a href="Filtrierung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Filtrierung</a>.</li>

<li>Falls man einen stochastischen Prozess hat, der die drei definierenden Eigenschaften erfüllt, so existiert eine Version des Prozesses mit càdlàg-Pfaden, also ein Poisson-Prozess.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{\lambda ,t}:=P_{\lambda ,t}-\operatorname {E} (P_{\lambda ,t})=P_{\lambda ,t}-\lambda \cdot t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45694e1f7f95c95a9abc90c868ee0e5ed9d90c3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.488ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{\lambda ,t}:=P_{\lambda ,t}-\operatorname {E} (P_{\lambda ,t})=P_{\lambda ,t}-\lambda \cdot t}" loading="lazy"> heißt kompensierter Poisson-Prozess und ist ein <a href="Martingal" title="Martingal">Martingal</a> bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.</li>

<li>Unter relativ allgemeinen Annahmen konvergiert die Überlagerung von allgemeinen <a href="Erneuerungsprozess" title="Erneuerungsprozess">Erneuerungsprozessen</a> asymptotisch gegen einen Poisson-Prozess (<a href="Satz_von_Palm-Chintschin" title="Satz von Palm-Chintschin">Satz von Palm-Chintschin</a>).</li>

<li>Es gilt der Abbildungsatz, das heißt, ein Poisson-Punktprozess mit Intensität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> bildet unter einer messbaren Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> wieder einen Poisson-Punktprozess mit der Intensität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\gamma )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\gamma )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75ac255da34908683dbb5e9e39e241c1b71f0e06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\gamma )}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Poisson_Point_Process-1">[1]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternative_Definition">Alternative Definition</h2></div>

In der obigen Definition wird die Poisson-Verteilung vorausgesetzt, sie lässt sich aber auch aus grundlegenden Eigenschaften eines stochastischen Prozesses (Poissonsche Annahmen) ableiten. Wenn diese Eigenschaften einem Geschehen in guter Näherung zugeordnet werden können, wird die Ereignishäufigkeit Poisson-verteilt sein. Poisson veröffentlichte 1837 seine Gedanken zu dieser Verteilung zusammen mit seiner <a href="Wahrscheinlichkeitstheorie" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitstheorie</a> in dem Werk „Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile“ („Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen“).

Man betrachtet ein Raum- oder Zeitkontinuum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">, in dem zählbare Ereignisse mit konstanter mittlerer Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> pro <a href="Einheitsintervall" class="mw-redirect" title="Einheitsintervall">Einheitsintervall</a> stattfinden (ein <a href="Bernoulli-Experiment" class="mw-redirect" title="Bernoulli-Experiment">Bernoulli-Experiment</a> wird sehr oft, sozusagen an jedem Punkt des Kontinuums durchgeführt). Nun richtet man den Blick auf ein genügend kleines Kontinuumsintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy">, das je nach Experiment einen Bereich, ein Zeitintervall, eine abgegrenzte Strecke, Fläche oder Volumen darstellen kann. Was sich dort ereignet, bestimmt die globale Verteilung auf dem Kontinuum.

Die drei Poissonschen Annahmen lauten:

<ol><li>Innerhalb des Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [w,w+\Delta w]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [w,w+\Delta w]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27b2040fcb6fda995a889b38b998fc103ffa422e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.096ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [w,w+\Delta w]}" loading="lazy"> gibt es höchstens ein Ereignis (Seltenheit).</li>

<li>Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, ist proportional zur Länge des Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy">. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> konstant ist, ist es damit auch unabhängig von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">.</li>

<li>Das Eintreten eines Ereignisses im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy"> wird nicht beeinflusst von Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben (Geschichtslosigkeit).</li></ol>

Mit Annahme 1 und 2 ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy"> zu finden, gegeben als

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}(\Delta w)=g\cdot \Delta w,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6516437e099b19f552e84043c358fecb6b14c5a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:17.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{1}(\Delta w)=g\cdot \Delta w,}" loading="lazy"></dd></dl>

sowie die Wahrscheinlichkeit, dass in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy"> kein Ereignis auftritt, durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{0}(\Delta w)=1-p_{1}(\Delta w)=1-g\cdot \Delta w.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be0bcdfa286e31f5ecf90547f456468dbe6924ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:36.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{0}(\Delta w)=1-p_{1}(\Delta w)=1-g\cdot \Delta w.}" loading="lazy"></dd></dl>

Nach Annahme 3 ist die Wahrscheinlichkeit eines ereignisfreien Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy"> unabhängig vom Auftreten irgendwelcher Ereignisse im Bereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> davor. So berechnet man die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis bis zum Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w+\Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w+\Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c6e4885ec1f898729a1b7753c16e4aaf20ba5a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.105ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle w+\Delta w}" loading="lazy"> zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{0}(w+\Delta w)=p_{0}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)=p_{0}(w)-g\cdot p_{0}(w)\cdot \Delta w.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc12063c92629998d1671aa8e7b21418a7bf1714.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:56.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{0}(w+\Delta w)=p_{0}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)=p_{0}(w)-g\cdot p_{0}(w)\cdot \Delta w.}" loading="lazy"></dd></dl>

Das ergibt näherungsweise die <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{0}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{0}(w)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{0}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{0}(w)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a46f6e963388259a3cc8b70e53ae79baab881332.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.263ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{0}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{0}(w)}" loading="lazy"> mit der Lösung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{0}(w)=\mathrm {e} ^{-g\cdot w}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3416f3ed7afbc0cf58342f9ad3c31e0f50465b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:13.851ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p_{0}(w)=\mathrm {e} ^{-g\cdot w}}" loading="lazy"></dd></dl>

unter der <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{0}(0)=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{0}(0)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca86f7c8dc96bc75d6489896ab25f16749541fb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:9.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{0}(0)=1}" loading="lazy">. Ebenso findet man die Wahrscheinlichkeit für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Ereignisse bis zum Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w+\Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w+\Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c6e4885ec1f898729a1b7753c16e4aaf20ba5a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.105ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle w+\Delta w}" loading="lazy">

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}p_{m}(w+\Delta w)&=p_{m}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)+p_{m-1}(w)\cdot p_{1}(\Delta w)\\&=p_{m}(w)-g\cdot p_{m}(w)\cdot \Delta w+g\cdot p_{m-1}(w)\cdot \Delta w.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d533ff94d47e3f700fa19b4995bfaf9df3c53d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:60.139ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{m}(w+\Delta w)&=p_{m}(w)\cdot p_{0}(\Delta w)+p_{m-1}(w)\cdot p_{1}(\Delta w)\\&=p_{m}(w)-g\cdot p_{m}(w)\cdot \Delta w+g\cdot p_{m-1}(w)\cdot \Delta w.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Jedes angehängte Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e68d563090a013f7e1f356f80d3471dab58e689b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta w}" loading="lazy"> darf nach Annahme 1 nur entweder kein oder ein Ereignis enthalten. Die entsprechende Differentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{m}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{m}(w)+g\cdot p_{m-1}(w)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{m}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{m}(w)+g\cdot p_{m-1}(w)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ad2c1db9376e5705ddd063aeb16ee0488ec786c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:34.442ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} p_{m}(w)}{\mathrm {d} w}}=-g\cdot p_{m}(w)+g\cdot p_{m-1}(w)}" loading="lazy"> hat die Lösung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{m}(w)={\frac {(g\cdot w)^{m}}{m!}}\mathrm {e} ^{-g\cdot w}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d732286e38089fd25f2bcff10cf532b5ce54f890.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:23.899ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p_{m}(w)={\frac {(g\cdot w)^{m}}{m!}}\mathrm {e} ^{-g\cdot w}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Identifiziert man nun in diesem Ausdruck, der die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Ereignissen im Kontinuumsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> beschreibt, die Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\cdot w)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\cdot w)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3ee445780b939575f3a7351102ff762a28bdaad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.269ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\cdot w)}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">, stimmt er mit der Formel der Poisson-Verteilung überein. Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> ergibt sich in vielen Aufgabenstellungen als Produkt einer Rate (Anzahl von Ereignissen pro Einheitsintervall) und einem Vielfachen des Einheitsintervalls.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammengesetzte_Poisson-Prozesse">Zusammengesetzte Poisson-Prozesse</h2></div>

Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b930a180af3138b8cf9c3e6674b5713bf81ef295.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{t}}" loading="lazy"> ein Poisson-Prozess mit Intensität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e65cc76587181a4deb63389e9f8383e9f037bf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.601ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }" loading="lazy"> <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen</a> unabhängig von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b930a180af3138b8cf9c3e6674b5713bf81ef295.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{t}}" loading="lazy">, so wird der stochastische Prozess

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}:=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aad19e23f617cc95adb551cd2522d40f08fdd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.807ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle X_{t}:=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

als zusammengesetzter Poisson-Prozess bezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}" loading="lazy"> ist dann <a href="Zusammengesetzte_Poisson-Verteilung" title="Zusammengesetzte Poisson-Verteilung">zusammengesetzt Poisson-Verteilt</a>. Wie der ursprüngliche Poisson-Prozess ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ein <a href="Sprungprozess" title="Sprungprozess">Sprungprozess</a> unabhängiger Zuwächse und exponential(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">)-verteilter Abstände zwischen den Sprüngen mit Sprunghöhen, die nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> verteilt sind. Gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{1}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{1}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a8331d77c4ce299a1b11b670780a5d3b9adbd51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{1}=1}" loading="lazy"> f. s., so erhält man wieder einen Poisson-Prozess.

Für den Erwartungswert gilt die <a href="Formel_von_Wald" title="Formel von Wald">Formel von Wald</a> (nach dem Mathematiker <a href="Abraham_Wald" title="Abraham Wald">Abraham Wald</a>):

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=\mathbb {E} (N_{t})\mathbb {E} (Y_{1})=\mu t\mathbb {E} (Y_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ff56fecda48d3c8c000a0af1f9fe3f7e3c8793a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.129ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {E} (X_{t})=\mathbb {E} (N_{t})\mathbb {E} (Y_{1})=\mu t\mathbb {E} (Y_{1})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für die Varianz gilt die <a href="Blackwell-Girshick-Gleichung" title="Blackwell-Girshick-Gleichung">Blackwell-Girshick-Gleichung</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{t})=\mu t\operatorname {E} (Y_{1})^{2}+\mu t\operatorname {Var} (Y_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/188ddac41afaf4de5399bf7384a770641a9038e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{t})=\mu t\operatorname {E} (Y_{1})^{2}+\mu t\operatorname {Var} (Y_{1})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Zusammengesetzte Poisson-Prozesse sind Lévy-Prozesse.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inhomogener_Poisson-Prozess">Inhomogener Poisson-Prozess</h2></div>

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> nicht als Konstante, sondern als <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> der Zeit aufzufassen. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0e1cc2c2f9e6d8b22c0da0bb5fe8f0f47791e4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (t)}" loading="lazy"> muss dabei die beiden Bedingungen

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (t)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/877fe9ea69bef9f6851ba10fdee33f7dfb140159.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (t)>0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ceaaee1cc7bc83dc5946a9e09277bfdf1fcabff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.869ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy"> und</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dccfa91ab20277b97246d8601ac12c96057b1fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.579ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t<\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd17c15a3054579a635f9692502abcc82d5a131b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.204ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy"></li></ul>

erfüllen.

Für einen inhomogenen Poisson-Prozess <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P_{\lambda (t),t})_{t\geq 0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P_{\lambda (t),t})_{t\geq 0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68f4877426d84756fb6353dc840dc7b48cd7aa3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.343ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (P_{\lambda (t),t})_{t\geq 0}}" loading="lazy"> gilt abweichend von einem homogenen Poisson-Prozess:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{t}-P_{s}\sim {\mathcal {P}}_{\int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f456a97cba95d15bf377f584654861e0c302d96e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:20.126ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle P_{t}-P_{s}\sim {\mathcal {P}}_{\int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy"> wieder die Poisson-Verteilung mit dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/307d5106c1f54e3c40b856be574f9b5a627de6d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.181ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{s}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}" loading="lazy"> bezeichnet.</li>

<li>Für den Erwartungswert gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e26d515285001aebce63b41dea99849e31cb6c8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.99ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}" loading="lazy">.</li>

<li>Für die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> gilt ebenfalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Var} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57bde5aed1e258bba90b5004b19e3f01abf6f8d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.224ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (P_{t})=\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u}" loading="lazy">.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef3e70085bbfec0d2ed0f898618bbb48db4ab7b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/236a07f6109f6e8c7dd3d9229ab240a983045cd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{2}}" loading="lazy"> zwei Sprungstellen des inhomogenen Poisson-Prozesses, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef2eae0c6cdd517a31aa8bff759d853052d64af8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.157ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\lambda (t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> exponentialverteilt mit dem Parameter 1.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cox-Prozess">Cox-Prozess</h2></div>

Ein inhomogener Poisson-Prozess mit stochastischer Intensitätsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0e1cc2c2f9e6d8b22c0da0bb5fe8f0f47791e4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (t)}" loading="lazy"> heißt doppelt stochastischer Poisson-Prozess oder nach dem englischen Mathematiker <a href="David_Cox_(Statistiker)" title="David Cox (Statistiker)">David Cox</a> auch Cox-Prozess. Betrachtet man eine bestimmte Realisierung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0e1cc2c2f9e6d8b22c0da0bb5fe8f0f47791e4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (t)}" loading="lazy">, verhält sich ein Cox-Prozess wie ein inhomogener Poisson-Prozess. Für den Erwartungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{\lambda (t),t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{\lambda (t),t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d926ad6616298bd1e8c21ae7eec4a53692bd5726.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.607ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle P_{\lambda (t),t}}" loading="lazy"> gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (P_{\lambda (t),t})=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a72ce86e03a468228d590733534222aaca50f43e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.282ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (P_{\lambda (t),t})=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}\lambda (u)\,\mathrm {d} u\right)}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbeispiele">Anwendungsbeispiele</h2></div>

<ul><li>Allgemein:

<ul><li>Zählung von gleichverteilten Ereignissen pro Flächen-, Raum- oder Zeitmaß (z. B. Anzahl der Regentropfen auf einer Straße; Anzahl der Sterne in einem Volumen V ist ein dreidimensionaler Poisson-Prozess)</li>

<li>Bestimmung der Häufigkeit seltener Ereignisse wie Versicherungsfälle, Zerfallsprozesse, Reparaturaufträge oder der Zahl der Tore in einem Fußballspiel (s. das Fußballbuch von <a href="Metin_Tolan" title="Metin Tolan">Metin Tolan</a>)</li></ul></li>

<li>Bediensysteme:

<ul><li>die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeitspanne</li>

<li>die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeitspanne</li>

<li>die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs, Telefonanrufe, Heap, …) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung, …) eingehen</li></ul></li>

<li>Fehler, Ausfälle, Qualitätskontrolle:

<ul><li>die zufällige Anzahl von nichtkeimenden Samenkörnern aus einer Packung</li>

<li>die Orte, an denen ein Faden Noppen hat</li>

<li>Anzahl der Pixelfehler auf einem LCD</li>

<li>Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße</li>

<li>Anzahl der Druckfehler in einem Buch</li>

<li>Anzahl der Unfälle pro Zeitspanne an einer Kreuzung</li>

<li>Auf <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://philip.greenspun.com/research/suicide-at-mit.pdf">[1]</a> (PDF; 35 kB) wird der Versuch unternommen, die Abfolge von <a href="Selbstmord" class="mw-redirect" title="Selbstmord">Selbstmorden</a> am <a href="Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">Massachusetts Institute of Technology</a> als Poisson-Prozess zu modellieren.</li></ul></li>

<li>Physik:

<ul><li>die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">-Teilchen emittiert</li>

<li>zufällige Anzahl der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">-Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden</li></ul></li>

<li><a href="Versicherungsmathematik" title="Versicherungsmathematik">Versicherungsmathematik</a>:

<ul><li>die Zeitpunkte von Großschäden einer Versicherung. In der <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanz-</a> und <a href="Schadensversicherungsmathematik" title="Schadensversicherungsmathematik">Schadensversicherungsmathematik</a> wird das Auftreten von zu deckenden Schäden üblicherweise durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess beschrieben, bei dem die einzelnen, unabhängig voneinander auftretenden Schäden nach Y verteilt sind. Versieht man diesen Schadensprozess dann noch mit einem deterministischen, negativen Drift (Versicherungsbeiträge), so erhält man den Vermögensprozess des Versicherungsunternehmens, auch Risikoprozess genannt. Dem schließen sich Fragestellungen an wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Vermögensprozess einen gewissen Schwellwert x, das heißt die Rücklagen der Versicherung, überschreitet und damit einen <a href="Insolvenz" title="Insolvenz">Konkurs</a> erleidet (sogenanntes Ruin-Problem)? Wie stark muss der negative Drift beziehungsweise der Beitragssatz sein, um die Wahrscheinlichkeit eines Konkurses (sog. Ruinwahrscheinlichkeit) unter eine vorgegebene Schwelle zu drücken?</li></ul></li>

<li><a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanzmathematik</a>:

<ul><li>Modelle für <a href="B%C3%B6rsenkurs" title="Börsenkurs">Kurse</a> von <a href="Aktien" class="mw-redirect" title="Aktien">Aktien</a>, wobei auch Sprünge erlaubt sind. Hierfür werden zwar oft <a href="L%C3%A9vy-Prozess" class="mw-redirect" title="Lévy-Prozess">Lévy-Prozesse</a> verwendet, aber da unendliche Aktivität oft schwer zu messen ist, werden auch zusammengesetzte Poissonprozesse verwendet.</li>

<li><a href="Kreditrisiko" title="Kreditrisiko">Kreditrisikomodelle</a> helfen <a href="Credit_Default_Swap" title="Credit Default Swap">CDS</a>, -Spreads und andere Kreditderivate zu bewerten und modellieren.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Sheldon M. Ross: Stochastic Processes. Wiley, New York NY u. a. 1983, ISBN 0-471-09942-2 (2nd edition. ebenda 1996, ISBN 0-471-12062-6).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Poisson_Point_Process-1">↑ <a href="#cite_ref-Poisson_Point_Process_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-Poisson_Point_Process_1-1">b</a> Günther Last, Mathew Penrose: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Lectures on Poisson Process</cite>. 5. Juli 2017 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.kit.edu/stoch/~last/seite/lectures_on_the_poisson_process/media/lastpenrose13052017.pdf">kit.edu</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Poisson-Prozess&rft.au=G%C3%BCnther+Last%2C+Mathew+Penrose&rft.btitle=Lectures+on+Poisson+Process&rft.date=2017-07-05&rft.genre=book" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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</body></html>